Cálculo de Áreas mediante Integrales Definidas | Ejercicios Resueltos

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Ejercicio 1: Calcula el área del recinto limitado por las siguientes curvas:

Solución Ejercicio 1:

En este tipo de ejercicios, el primer paso es conocer en que puntos se cortan ambas curvas. Para ello, tenemos que igualarlas entre sí y resolver la ecuación:

Si resolvemos la ecuación de tercer grado obtenemos las siguientes soluciones:

Por tanto, ya sabemos que las dos curvas se cortan en el eje x en los puntos – 4, – 1 y 0.

Ahora para calcular el área comprendida entre ambas curvas, debemos aplicar la Regla de Barrow. Asimismo, tenemos que aplicar dicha regla en los dos intervalos que tenemos, es decir, desde – 4 hasta – 1 y desde – 1 hasta 0.

Calculamos el área en el primer intervalo [-4,-1]:

Estas integrales se calculan de manera sencilla. Podemos simplificar el cálculo si hacemos la resta y(x) – z(x). De esta forma, la integral a calcular sería:

Calculamos el área en el segundo intervalo [-1,0]:

Que este valor salga negativo significa que una curva está por encima de otra y nosotros, al hacer la resta, hemos tenido en cuenta lo contrario. Sin embargo, no pasa nada puesto que tenemos que poner el resultado en valor absoluto.

Por tanto, ya tenemos las dos áreas calculadas, hacemos la suma en valor absoluto y obtenemos el área total:

Por último, se muestra una gráfica donde están representadas ambas funciones. En dicha gráfica, se puede ver el área total que hemos calculado encerrada por ambas curvas.

Ejercicio 2: Calcula el área comprendida entre la función y(x) y el eje X en el intervalo [0,2]:

Solución Ejercicio 2:

En este tipo de ejercicios, aunque nos den un intervalo para calcular el área primero debemos comprobar si la curva corta al eje X en algún punto. Para ello, igualamos la función a 0 y calculamos los valores de X.

Por tanto, tenemos que calcular las integrales en los siguientes intervalos:

Calculamos el área del primer intervalo:

Calculamos el área del segundo intervalo:

Calculamos el área del tercer intervalo:

Finalmente, sumamos las 3 áreas calculadas para obtener el área total:

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